:: کارگاه جبرخطی تجربی

کارگاه جبرخطی تجربی

Workshop on Experimental Linear Algebra

دکتر فرشید عبدالهی - استاد دانشگاه شیراز

معرفی کارگاه:

ریاضیات تجربی رویکردی به ریاضیات است که در آن از محاسبات برای بررسی ساختارهای ریاضی و شناسایی ویژگی‌ها و الگوهای اساسی آن­ها استفاده می­شود [1]. همانند علوم تجربی، ریاضیات تجربی را می­توان به منظور جمع‌آوری شواهدی برای حمایت از ادعاهای خاصی که خود ممکن است حاصل شده از محاسبات باشد، استفاده کرد و سپس با  استدلال و یا آزمایش­های محاسباتی اضافی آنرا تأیید یا رد کرد. بوروین و بیلی [2] از اصطلاح ریاضیات تجربی به معنای روش شناسی انجام ریاضیات استفاده می­کنند که شامل استفاده از محاسبات برای موارد زیر است:

1. به دست آوردن بینش و شهود؛
2. کشف الگوها و روابط جدید؛
3. استفاده از نمایش­گرهای گرافیکی برای پیشنهاد اصول اساسی ریاضی؛
4.  آزمایش و به ویژه رد حدس و گمان؛
5.  بررسی نتایج بدست آمده و تعیین میزان ارزش اثبات تحلیلی؛
6.  پیشنهاد رویکردهایی برای اثبات تحلیلی؛
7.  جایگزینی محاسبات دستی طولانی با محاسبات مبتنی بر رایانه؛
8.  تایید نتایج تحلیلی به دست آمده.

جبر خطی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعه ماتریس­ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد. جبر خطی کاربردهای فراوان و گوناگونی در ریاضیات و محاسبات گسسته دارد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی و آنالیز عددی، جبر خطی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی و علوم اجتماعی پیداکرده است. در مباحث جبر خطی مانند معادلات خطی، مسائل مربوط به مقدار ویژه، تجزیۀ مقدارهای منفرد یا تجزیۀ مقدارهای تکین (SVD)، تجزیه ماتریس­های نامنفی (NMF)، تجزیه ماتریس­های دودویی  (BMF)، روش تجزیه و تحلیل مولفه اصلی (PCA)،  برنامه­ریزی خطی، بهینه سازی، معادلات دیفرانسیل خطی، روش­های کاهش رتبه ماتریس، روش زیرفضای کرایلف و تقریب ماتریسی و کاربرد آن در فشرده سازی تصاویر، الگوریتم های داده کاوی (متن کاوی و بازیابی اطلاعات، خوشه بندی و بازیابی اطلاعات، جستجو در وب و مرتبه صفحات وب، تجزیه و تحلیل تصاویر) و ... اغلب در عمل توسط برنامه­های کاربردی تجزیه و تحلیل داده­های بزرگ استفاده می­شود.[3]

به ویژه، الگوریتم‌های ماتریسی هسته اصلی تحلیل داده‌های بزرگ مدرن را تشکیل می‌دهند، زیرا ماتریس‌ها ساختار ریاضی مناسبی برای مدل‌سازی طیف وسیعی از داده‌های برنامه‌ها را فراهم می­کنند. به عنوان مثال، اطلاعات مربوط به    N شی با D ویژگی را می توان به راحتی توسط یک ماتریس N×D  توصیف کرد. [4]

ماتریس­های بزرگ در استخراج ویژگی، خوشه بندی و طبقه بندی استفاده می­شوند. تجزیه ماتریس در تحلیل مولفه­های اصلی برای کاهش بعد استفاده می­شود. به طور مشابه، بردارهای ویژه در روش رتبه بندی صفحات گوگل به کار برده می­شوند. [5]

 هدف از برگزاری این کارگاه آشنا نمودن مخاطب با تعدادی از ابزارهای رایانه­ای مورد نیاز در جبرخطی تجربی است. در پایان این کارگاه، شرکت کنندگان، علاوه بر آشنایی با بسته­های مقدماتی مورد نیاز برای جبرخطی تجربی، با مفاهیمی از جبر خطی مورد استفاده در علم داده- به صورت عملی- آشنا خواهند شد. به طور کلی، این کارگاه فرصت خوبی برای افراد علاقمند به جبرخطی تجربی خواهد بود تا با مفاهیم جبر خطی در متلب و پایتون، یکی از قدرتمندترین زبان­های برنامه نویسی، و استفاده از آن برای جبرخطی تجربی، علم داده، یادگیری ماشین و ... بدست آورند.
 

سرفصل مطالب:

• مقدمه ای بر جبر خطی و پایتون و متلب
• استفاده از ماتریس در پایتون و متلب
• مقدمه ای بر توابع جبر خطی در پایتون و متلب
• حل معادلات خطی با پایتون و متلب
• استفاده از جبر ماتریسی در پایتون و متلب
• نمونه­ای عملی از جبرخطی تجربی
• استفاده از معادلات برداری برای مدل سازی داده­ها
• نحوه استفاده از پایتون و متلب برای مدل سازی داده­های مختلف
• مقدمه ای بر مجموعه داده­های نمونه
• کار بر روی یک مجموعه داده نمونه با استفاده از معادلات برداری
• برنامه­های کاربردی در دنیای واقعی
• مقدمه ای بر جبر خطی برای علم داده با استفاده از پایتون و متلب

مراجع: